\(
\def\x{{\bf x}}
\def\y{{\bf y}}
\newcommand{\Spro}[2]{\langle {#1},{#2} \rangle}
\)
Die Rendering Equation, kurz REQ, beschreibt, ebenso wie ihre kleinere Schwester, die Radiosity Equation, den Energieaustausch zwischen Oberflächen. Sie lautet
\begin{equation} \label{RTE}
L(\x,\omega) = L_e(\x,\omega)+\int_{2 \pi} f(\x, \omega, \omega^\prime) \, L( h(\x,\omega^\prime), -\omega^\prime) \,\cos \theta^\prime d{\omega^\prime}.
\end{equation}
Bezeichnungen (hier klicken zum Ein- bzw. Ausblenden)
- $L(\x,\omega)$ die Strahlungsdichte, die die Oberfläche im Punkt $\x$ in Richtung $\omega$ verläßt,
- $\theta$ den Winkel zwischen der Oberflächennormale im Punkt ${\bf x}$ und der Richtung $\omega$ (Polarwinkel),
- $ f({\bf x}, \omega, \omega^\prime)$ eine Bidirectional Reflectance Distribution Function, kurz BRDF, mit der sich Oberflächeneigenschaften beschreiben lassen,
- $L_e$ die in Richtung $\omega$ emittierte Strahldichte und $h({\bf x},\omega^\prime)$ eine Funktion, die denjenigen Punkt der Oberfläche bestimmt, der in Richtung $\omega^\prime$ einen minimalen Abstand zu ${\bf x}$ hat.
An dieser Stelle wird die Abhängigkeit bzgl. der Wellenlänge nicht berücksichtigt, d.h. es handelt sich hier um das “graue” Modell.
Es gibt eine zweite Version von \eqref{RTE}, in der statt über den Raumwinkel $\omega’$ über die Umhüllung $\Gamma$ integriert wird (Gleichung 7-18b in Siegel1). Mit $\y=h(\x,\omega’)$ schreibt sich \eqref{RTE} als
\begin{equation} \label{RTEb}
L(\x,\omega ) = L_e(\x,\omega)
+ \int_{\Gamma} f( \x, \omega, \omega’) \,
L( \y, \omega’) \, vis(\x,\y)
\frac{\cos (\theta_\x) \, \cos (\theta_\y)}{ \| \x- \y\|^2} d{\y} .
\end{equation}
Dabei ist $\omega’$ die Richtung in der $\x$ von $\y$ aus gesehen wird. Sie hängt also von $\x$ und dem Integrationspunkt $\y$ ab. Hier kommt nun der geometrische Faktor
$$
G(\x,\y) = \frac{\cos \theta_\x \, \cos \theta_\y}{\| \x -\y\|^2} = \frac{ \Spro{n_x}{\y-\x} \Spro{n_\y}{\x-\y} }{\| \x -\y\|^4}
$$
und die Sichtbarkeitsfunktion $vis(\x,\y)$ ins Spiel.
Sichtbarkeit
Seien $\x$ und $\y$ Punkte einer Umhüllung $\Gamma=\partial\Omega$. Falls keiner der Punkte $s$ der Geraden
$$
s = t\, \x + (1-t) \, \y , \qquad t \in (0,1) ,
$$
auf $\Gamma$ liegt, dann “sieht” $\x$ den Punkt $\y$ (und umgekehrt).
$$
vis(\x,\y) := \begin{cases}
1 & \text{falls } t\, \x + (1-t) \, \y \not\in \Gamma, \quad \forall \, t \in (0,1), \\
0 & \mbox{ sonst}
\end{cases}
$$
Diese Definition der Sichtbarkeitsfunktion $vis$ bedeutet, daß für zwei Punkt, die sich sehen, alle inneren Punkte der entsprechenden Geraden im Gebiet $\Omega$ liegen. Man kann auch sagen, daß die Gerade den Rand $\Gamma$ nur in den Eckpunkten berührt. Auch wenn die Definition von $vis$ relativ harmlos aussieht, ist doch die Berechnung der Sichtbarkeiten ein sehr rechenintensiver Schritt. Mehr dazu unter Visibility.
Ansatz
In der numerischen Lösung wird die Richtungsabhängigkeit der Austrahlung mittels eines Ansatzes über hemisphärische Kugelflächenfunktionen $H_l^m(\theta, \phi)$ berücksichtigt (Literatur: Gautron 3, Ramamoorthi 2). Für jeden Punkt $\x$ der Oberfläche sei für die Strahldichte
\begin{equation} \label{render:Ansatz:HSH}
L_s(\x,\omega) = \sum_{l=0}^n \sum_{m=-l}^l a_{l m}(\x) \, H_l^m(\omega)
\end{equation}
gewählt. Die Numerik folgt dann im Prinzip dem Schema aus dem Beitrag zur radiosity equation, jedoch werden hier zusätzlich pro Panel Berechnungen über die Halbkugel durchgeführt.