Mathematische Modelle

Hemisphärische Kugelflächenfunktionen

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Mittels der Transformation $\theta \rightarrow 2\,\cos(\theta)-1$,  die das Intervall $[0,\pi/2]$ nach $[-1,1]$ abbildet, lassen sich Kugelflächenfunktionen auf der Halbkugel erklären. Basisfunktionen Gautron [1] stellt eine Basis aus Kugelflächenfunktionen für die Hemisphäre vor: $$ \newcommand{\R}{\mathbb{C}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} $$ Seien $l \in \N$, $m \in \Z$ mit $|m| \leq l$, $\phi \in [0,2\pi)$ der Azimutwinkel und […]

Algorithmische Geometrie

Visibility

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Simulationen nutzen eine geometrische Diskretisierung des realen oder virtuellen Modells, die sogenannte Triangulierung. So sind z.B. in der Automobilindustrie Fahrzeugoberflächen mit mehreren Millionen Dreiecken üblich. Soll die Wärmestrahlung zwischen den Oberflächen in der Simulation eine Rolle spielen, siehe hier, dann ist für jedes dieser Dreiecke  zu entscheiden welche anderen Dreiecke “gesehen” werden. Sichtbarkeitsproblem Formal ist […]

Mathematische Modelle

Rendering equation

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Die rendering equation, kurz REQ, beschreibt die Strahlungsdichte, die den Punkt ${\bf x}$ einer opaken Oberfläche in Richtung $\,\omega=(\theta,\phi)$ verlässt, in der Form \begin{equation} \label{RTE} L({\bf x},\omega) = L_e({\bf x},\omega) + \int_{2 \pi} f({\bf x}, \omega, \omega^\prime) \, L( h({\bf x},\omega^\prime), -\omega^\prime) \, \cos \theta^\prime d{\omega^\prime} . \end{equation} An dieser Stelle wird die Abhängigkeit bzgl. […]